Question

已知{a_n}是首項為a₁，公比為q（q≠1）的等比數列，其前n項和為S_n，且有

S10

S5

=

33

32

，設b_n=2q+S_n
（1）求q的值；
（2）數列{b_n}能否為等比數列？若能，請求出a₁的值；若不能，請說明理由；
（3）在（2）的條件下，求數列{nb_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用已知條件，利用等比數列的求和公式，列出關于等比數列的首項與公比的方程組，求公比
（2）由（1）知b_n=2q+S_n=1+

a1(1- 1 25 )

1- 1 2

=（2a₁+1）-

2a1

2n

，先假設數列{b_n}能否為等比數列，則b22=b1b3，可求a1=-

1

2

，bn=

1

2n

，代入檢驗即可判斷
（3）由于b_n是有一等差數列與等比數列的積構成的數列，利用錯位相減的方法求出前n項和．

解答：解（1）∵q≠1
∴

S10

S5

=

a1(1-q10) 1-q

a1(1-q5) 1-q

=1+q⁵=

33

32

∴q=

1

2

（2）由（1）知b_n=2q+S_n=1+

a1(1- 1 25 )

1- 1 2

=（2a₁+1）-

2a1

2n

①若數列{b_n}能否為等比數列，則b22=b1b3，即(1+

3a1

2

)2=(1+a1)(1+

7a1

4

)
∴a1=-

1

2

或a₁=0（舍去）
∴bn=

1

2n

②∵b_n≠0，且n≥2時，

bn

bn-1

=

1

2

∴a1=-

1

2

時，數列{b_n}為等比數列
（3）由（2）nbn=

n

2n

∴Tn=

1

2

+

2

22

+…+

n

2n

1

2

Tn=

1

22

+

2

23

+••+

n-1

2n

+

n

2n+1

兩式相減可得，

1

2

Tn=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

∴T_n=2-

n+2

2n

點評：求數列的前n項和，一般先求出通項，根據通項的特點選擇合適的求和方法．