Question

【題目】如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1所有的棱長均為2，A1B= ，A1B⊥AC．
（Ⅰ）求證：A1C1⊥B1C；
（Ⅱ）求直線AC和平面ABB1A1所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）取AC中點O，連結A1O，BO，

∵三棱柱ABC﹣A1B1C1所有的棱長均為2，∴BO⊥AC，

∵A1B⊥AC，A1B∩BO=B，A1B面A1BO，BO面A1BO，

∴AC⊥面A1BO，

連結AB1，交A1B于點M，連結OM，則B1C∥OM，

又∵OM面A1BO，∴AC⊥OM，

∵A1C1∥AC，A1C1⊥B1C．

（Ⅱ）解：∵A1B⊥AB1，A1B⊥AC，∴A1B⊥面AB1C，

∴面AB1C⊥面ABB1A1，

∵面AB1C∩面ABB1A1=AB1，∴AC在平面ABB1A1的射影為AB1，

∴∠B1AC為直線AC和平面ABB1A1所成的角，

∵AB1=2AM=2 = ，

∴在 Rt△ACB1中，cos = = ，

∴直線AC和平面ABB1A1所成角的余弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）取AC中點O，連結A1O，BO，推導出BO⊥AC，A1B⊥AC，從而AC⊥面A1BO，連結AB1，交A1B于點M，連結OM，則B1C∥OM，從而AC⊥OM，由A1C1∥AC，能證明A1C1⊥B1C．（Ⅱ）由A1B⊥AB1，A1B⊥AC，得A1B⊥面AB1C，從而面AB1C⊥面ABB1A1，推導出AC在平面ABB1A1的射影為AB1，從而∠B1AC為直線AC和平面ABB1A1所成的角，由此能求出直線AC和平面ABB1A1所成角的余弦值．
【考點精析】利用直線與平面垂直的性質和空間角的異面直線所成的角對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知垂直于同一個平面的兩條直線平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．