Question

【題目】如圖，在四棱錐中P﹣ABCD，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD=CD=2 ，BC=4 ，PA=2．
（1）求證：AB⊥PC；
（2）在線段PD上，是否存在一點M，使得二面角M﹣AC﹣D的大小為45°，如果存在，求BM與平面MAC所成角的正弦值，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是直角梯形，

AD=CD=2 ，BC=4 ，

∴AC=4，AB= = =4，

∴△ABC是等腰直角三角形，即AB⊥AC，

∵PA⊥平面ABCD，AB平面ABCD，

∴PA⊥AB，

∴AB⊥平面PAC，又PC平面PAC，

∴AB⊥PC

（2）解：假設存在符合條件的點M，過點M作MN⊥AD于N，則MN∥PA，

∴MN⊥平面ABCD，∴MN⊥AC．

過點M作MG⊥AC于G，連接NG，則AC⊥平面MNG，

∴AC⊥NG，即∠MGN是二面角M﹣AC﹣D的平面角．

若∠MGN=45°，則NG=MN，又AN= NG= MN，

∴MN=1，即M是線段PD的中點．

∴存在點M使得二面角M﹣AC﹣D的大小為45°．

在三棱錐M﹣ABC中，VM﹣ABC= S△ABCMN= = ，

設點B到平面MAC的距離是h，則VB﹣MAC= ，

∵MG= MN= ，∴S△MAC= = =2 ，

∴ = ，解得h=2 ．

在△ABN中，AB=4，AN= ，∠BAN=135°，∴BN= = ，

∴BM= =3 ，

∴BM與平面MAC所成角的正弦值為 = ．

【解析】（1）利用直角梯形的性質求出AB，AC的長，根據勾股定理的逆定理得出AB⊥AC，由PA⊥平面ABCD得出AB⊥PA，故AB⊥平面PAC，于是AB⊥PC；（2）假設存在點M，做出二面角的平面角，根據勾股定理求出M到平面ABCD的距離從而確定M的位置，利用棱錐的體積求出B到平面MAC的距離h，根據勾股定理計算BM，則 即為所求角的正弦值．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面垂直的性質和空間角的異面直線所成的角的相關知識點，需要掌握垂直于同一個平面的兩條直線平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則才能正確解答此題．