Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，直線PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，BC=2AB=2AD=4BE=4．
（I）求證：直線DE⊥平面PAC．
（Ⅱ）若直線PE與平面PAC所成的角的正弦值為 ，求二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA．又∵AB⊥AD，故可建立建立如圖所示坐標系．由已知D（0，2，0），E（2，1，0），C（2，4，0），P（0，0，λ），（λ＞0）， =（2，﹣1，0）， =（2，4，0）， =（0，0，λ），
=4﹣4+0=0， =0．
∴DE⊥AC，DE⊥AP，
∴ED⊥平面PAC．
（Ⅱ）由（Ⅰ），平面PAC的一個法向量是 ， =（2，1，λ）．
設直線PE與平面PAC所成的角為θ，
∴sinθ=|cos |= = ，
解得λ=±2，∵λ＞0，∴λ=2，即P（0，0，2）．
設平面PCD的一個法向量為 =（x，y，z）， =（2，2，0）， =（0，﹣2，﹣2），
∴ ，∴ ，取 =（1，﹣1，﹣1）．
∴cos = = ，
顯然二面角A﹣PC﹣D的平面角是銳角，∴二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）由PA⊥平面ABCD，可得AB⊥PA．又AB⊥AD，可建立建立如圖所示坐標系．利用向量垂直與數量積的關系、線面垂直的判定定理即可得出．（Ⅱ）由（Ⅰ），平面PAC的一個法向量是 ， =（2，1，λ）．設直線PE與平面PAC所成的角為θ，可得sinθ=|cos |= ，解得λ．設平面PCD的一個法向量為 =（x，y，z）， ，可得cos = ．