Question

設函數f(x)＝e^x－ax－2.
(1)求f(x)的單調區間；
(2)若a＝1，k為整數，且當x>0時，(x－k)f′(x)＋x＋1>0，求k的最大值．

Answer 1

（1）f(x)在(－∞，ln a)上單調遞減，在(ln a，＋∞)上單調遞增．
（2）2

(1)f(x)的定義域為(－∞，＋∞)，f′(x)＝e^x－a.
若a≤0，則f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上單調遞增．
若a>0，則當x∈(－∞，ln a)時，f′(x)<0；
當x∈(ln a，＋∞)時，f′(x)>0.
所以，f(x)在(－∞，ln a)上單調遞減，在(ln a，＋∞)上單調遞增．
(2)由于a＝1時，(x－k)f′(x)＋x＋1＝(x－k)(e^x－1)＋x＋1.
故當x>0時，(x－k)f′(x)＋x＋1>0等價于
k<＋x(x>0)             ①
令g(x)＝＋x，則g′(x)＝＋1＝.
由(1)知，函數h(x)＝e^x－x－2在(0，＋∞)上單調遞增，
又h(1)＝e－3<0，h(2)＝e²－4>0.
所以h(x)在(0，＋∞)上存在唯一零點．
故g′(x)在(0，＋∞)上存在唯一零點．
設此零點為α，則α∈(1,2)．
當x∈(0，α)時，g′(x)<0；當x∈(α，＋∞)時，g′(x)>0，
所以g(x)在(0，＋∞)上的最小值為g(α)．
又由g′(α)＝0，得e^α＝α＋2, 所以g(α)＝α＋1∈(2,3)．
由于①式等價于k<g(α)，
故整數k的最大值為2.