Question

16、設拋物線y²=4ax（a＞0）的焦點為A，以B（a+4，0）為圓心，|AB|為半徑，在x軸上方畫半圓，設拋物線與半圓相交與不同的兩點M、N，點P是MN的中點．
（1）求|AM|+|AN|的值；
（2）是否存在實數a，恰使|AM|、|AP|、|AN|成等差數列？若存在，求出a，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：先設M、N、P在拋物線的準線上的射影分別為M′，N′，P′，根據拋物線的定義可得到|AM|+|AN|=|MM′|+|NN′|=x_M+x_N+2a，然后聯立拋物線與圓的方程消去y得到關于x的一元二次方程，進而可得到兩根之和，即可得到|AM|+|AN|的值．
（2）先假設存在a滿足條件，根據2|AP|=|AM|+|AN|，再由∵|AM|+|AN|=|MM′|+|NN′|=2|PP′|可得到|，|AP|=|PP′|，故可得到點P必在拋物線上，但與點P是弦MN的中點矛盾，可得到結論．

解答：解：（1）設M、N、P在拋物線的準線上的射影分別為M′，N′，P′，由拋物線定義得：|AM|+|AN|=|MM′|+|NN′|=x_M+x_N+2a，又圓的方程為[x-（a+4）]²+y²=16，將y²=4ax代入得：x²-2（4-a）•x+a²+8a=0，∴x_M+x_N=2（4-a），所以|AM|+|AN|=8．
（2）假設存在這樣的a，使得：2|AP|=|AM|+|AN|，
∵|AM|+|AN|=|MM′|+|NN′|=2|PP′|，
∴|AP|=|PP′|．
由定義知點P必在拋物線上，這與點P是弦MN的中點矛盾，
所以這樣的a不存在．

點評：本題主要考查拋物線的基本性質．考查綜合運用能力和計算能力．