Question

已知拋物線y²=4ax（0＜a＜1=的焦點為F，以A（a+4，0）為圓心，|AF|為半徑在x軸上方作半圓交拋物線于不同的兩點M和N，設P為線段MN的中點．
（1）求|MF|+|NF|的值；
（2）是否存在這樣的a值，使|MF|、|PF|、|NF|成等差數列？如存在，求出a的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）先設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₀，y₀），根據拋物線的方程可得到F（a，0），然后聯立拋物線與圓的方程消去y得到關于x的一元二次方程，進而可得到兩根之和，即可得到|MF|+|NF|的值．
（2）先假設存在a滿足條件，根據2|PF|=|MF|+|NF|，再由拋物線的定義可得到|PF|=4x₀=4-a，將x₀代入圓的方程，求出的y₀值，故可得到a的值，但與點P是弦MN的中點得到的a的范圍矛盾，可得到結論．

解答：解：（1）F（a，0），設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₀，y₀），
由 {，

y2=4ax (x-a-4)2+y2=16

，消去y，得
⇒x²+2（a-4）x+（a²+8a）=0，
∵△＞0，∴x₁+x₂=2（4-a），
∴|MF|+|NF|=（x₁+a）+（x₂+a）=8．
（2）假設存在a值，使的|MF|，|PF|，|NF|成等差數列，即2|PF|=|MF|+|NF|⇒|PF|=4x₀=4-a，
∴

(x0-a)2+y02=16⇒(4-2a)2+y02=16⇒y02=16a-4a2

又

y02=( y1+y2 2 )2= y12+y22+2y1y2 4

=

4ax1+4ax2+2 4ax1 4ax2

4

=a(x1+x2)+2a

x1x2

=2a(4-a)+2a

a2+8a

⇒
2a(4-a)+2a

a2+8a

=16a-4a²⇒a=2，
與

△＞0 x1+x2＞0 x1x2＞0 y02＞0

⇒0＜a＜1矛盾．
∴假設不成立．
即不存在a值，使的|MF|，|PF|，|NF|成等差數列．

點評：本題主要考查拋物線的基本性質、等差關系的確定等，考查綜合運用能力和計算能力，屬于中檔題．