【題目】已知矩形
，
面，
分別是
的中點，設
，
．
（1）證明：
；
（2）求二面角
的大小．
【答案】（1）見解析；（2）
．
【解析】
解法一（1）接
，
交于點
，連
，
，可得
，
，可得
面
，從而可證明結論.
（2）根據條件，
面
,則
，又是矩形，則
，可得
面
,所以
，所以
就是二面角
的平面角，再根據
，可求得答案.
解法二，建系（1）利用空間向量數量積計算證明，（2）先求兩平面法向量，再根據法向量夾角與二面角關系得結果.
（1）如圖連接，交于點，
因為是矩形，所以是與的中點，再連，．
因為
分別是
的中點，
所以
，
所以．
又因為面，所以
面，
．
又因為
面，
面，所以面，
而
面，所以
．
（2）因為面,則
是矩形，則,又
所以面,所以
所以就是二面角的平面角，
因為
且
所以
，
故二面角的平面角為．
解法二：
（1）證明：如圖，以
為原點，分別以
為
軸建立平面直角坐標系，
則
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
（2）由（1）知
，
，
，
，
可知平面
的法向量為
，
設平面
的法向量為
，
則
，
解得
．
設二面角的平面角為
，
則
，
故二面角的平面角為．
數學奧賽暑假天天練南京大學出版社系列答案
南大教輔搶先起跑暑假銜接教程南京大學出版社系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】自古以來“民以食為天”，餐飲業作為我國第三產業中的一個支柱產業，一直在社會發展與人民生活中發揮著重要作用.某機構統計了2010～2016年餐飲收入的情況，得到下面的條形圖，則下面結論中不正確的是（ ）
A. 2010～2016年全國餐飲收入逐年增加
B. 2016年全國餐飲收入比2010年翻了一番以上
C. 2010～2016年全國餐飲收入同比增量最多的是2015年
D. 2010～2016年全國餐飲收入同比增量超過3000億元的年份有3個
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設
為不同的兩點，直線
，下列命題正確的有（ ）．
①不論
為何值，點
都不在直線
上；
②若
，則過點
的直線與直線平行；
③若
，則直線經過
的中點；
④若
，則點在直線的同側且直線與線段的延長線相交．
A.1個B.2個C.3個D.4個
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】閱讀下面的類比過程。
（1）在一維直線上，線段是一個封閉的中心對稱圖形，有命題1：不重合的兩點決定一條線段；
（2）在二維平面上，圓是一個封閉的中心對稱圖形，有命題2：不共線的三點決定一個圓；
（3）在三維空間中，球是一個封閉的中心對稱圖形，類比猜想：不共面的四點決定一個球。
證明或否定這個類比猜想：不共面的四點決定一個球。
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
：
（
）的左、右焦點分別為
，過點
的直線
交于
，
兩點，
的周長為
， 的離心率
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）設點
，
，過點作
軸的垂線
，試判斷直線與直線
的交點是否恒在一條定直線上？若是，求該定直線的方程；否則，說明理由.
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