Question

【題目】已知函數.

（1）若函數的極小值為0，求的值；

（2）且，求證：.

Answer 1

【答案】(1).(2)見解析.

【解析】

（1）根據導數在定義域內是否有零點確定分類討論的標準為和，然后分別討論導數的符號，確定當時在處取得極小值，再通過討論的單調性，從而由有唯一解.

（2）一方面，可以將問題等價轉化為證當時，恒成立問題，然后構造函數，通過其導數確定單調性，從而使問題得證；另一方面，也可以直接構造函數（），由其二階導數以及的范圍確定一階導數的單調性，從而確定的符號，進而確定的單調性，可得，使問題得證.

（Ⅰ）因為

所以，

當時，，函數在定義域上遞增，不滿足條件；

當時，函數在上遞減，在上遞增，

故在取得極小值0，，

令，，所以在（0，1）單調遞增，

在單調遞減，故，的解為，

故.

（2）證法1：由，

，所以只需證當時，恒成立.

令

由（1）可知，令得

在上遞增，故，所以命題得證.

證法2：，

設（），則，

則，又，，得，

所以單調遞增，得，

所以單調遞增，得，得證．