Question

（本小題滿分12分）某工廠用萬元錢購買了一臺新機器，運輸安裝費用千元，每年投保、動力消耗的費用也為千元，每年的保養、維修、更換易損零件的費用逐年增加，第一年為千元，第二年為千元，第三年為千元，依此類推，即每年增加千元．
（Ⅰ）求使用年后，保養、維修、更換易損零件的累計費用S（千元）關于的表達式；
（Ⅱ）問這臺機器最佳使用年限是多少年？并求出年平均費用（單位：千元）的最小值．(最佳使用年限是指使年平均費用最小的時間，年平均費用=（購入機器費用+運輸安裝費用+每年投保、動力消耗的費用+保養、維修、更換易損零件的累計費用）÷機器使用的年數 )

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）最佳年限是12年，平均費用為15．５千元

解析試題分析：(Ⅰ)由題易知其費用成等差數列，                                   ……2分
所以                                         ……5分
(Ⅱ)設使用年的年平均費用為，則  
                                           ……10分
當且僅當時，取等號，取最小值 ，                                   ……11分
故最佳年限是12年，平均費用為15．５千元.                                  ……12分
考點：本小題主要考查應用等差數列和基本不等式解決實際應用題，考查學生的理解能力和從實際問題中抽象出數學模型的能力.
點評：根據實際問題抽象出函數的解析式后，只需利用基本不等式就可求得函數的最值，但是一定要注意在定義域（使實際問題有意義的自變量的取值范圍）內求解.