Question

【題目】若曲線f（x）= （e﹣1＜x＜e2﹣1）和g（x）=﹣x3+x2（x＜0）上分別存在點A、B，使得△OAB是以原點O為直角頂點的直角三角形，且斜邊AB的中點在y軸上，則實數a的取值范圍是（ ）
A.（e，e2）
B.（e， ）
C.（1，e2）
D.[1，e）

Answer 1

【答案】B
【解析】解：設A（x1，y1），y1=f（x1）= ，B（x2，y2），y2=g（x2）=﹣x23+x22（x＜0），

則 =0，x2=﹣x1，∴ ．

， ，

由題意， ，即 =0，

∴ ，

∵e﹣1＜x1＜e2﹣1，

∴ ，

則 ．

設h（x）= ，則h′（x）= ，

∵e﹣1＜x＜e2﹣1，

∴h′（x）＞0，

即函數h（x）= 在（e﹣1＜x＜e2﹣1）上為增函數，

則 ，

即e＜a＜ ．

∴實數a的取值范圍是（e， ）．

故選：B．

【考點精析】認真審題，首先需要了解利用導數研究函數的單調性(一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減)．