Question

【題目】如圖，在△ABC中， ，角A的平分線AD交BC于點D，設∠BAD=α， ．
（Ⅰ）求sinC；
（Ⅱ）若 ，求AC的長．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵α∈（0， ），sinα ，

∴cosα= = ，

∴sin∠BAC=sin2α=2sinαcosα=2× × = ，

cos∠BAC=cos2α=2cos2α﹣1=2× ﹣1= ，

∴sinC=sin[π﹣（ +2α）]=sin（ +2α）= （cos2α+sin2α）= ×（ + ）= ；

（Ⅱ）由正弦定理，得 = ，

即 = ，

∴AB= BC，

又 =28，

∴AB×BC× =28，

由上兩式解得：BC=4 ，

由 = ，

得： = ，

∴AC=5．

【解析】（Ⅰ）由α為三角形BAD中的角，根據sinα的值，利用同角三角函數間的基本關系求出cosα的值，進而利用二倍角的正弦函數公式求出sin∠BAC與cos∠BAC的值，即為sin2α與cos2α的值，sinC變形為sin[π﹣（ +2α）]，利用誘導公式，以及兩角和與差的正弦函數公式化簡后，將各自的值代入計算即可求出sinC的值； （Ⅱ）利用正弦定理列出關系式，將sinC與sin∠BAC的值代入得出AB= BC，利用平面向量的數量積運算法則化簡已知等式左邊，將表示出的AB代入求出BC的長，再利用正弦定理即可求出AC的長．
【考點精析】本題主要考查了正弦定理的定義的相關知識點，需要掌握正弦定理:才能正確解答此題．