Question

【題目】已知正項數列{an}的前n項和Sn滿足2Sn=an2+an-2．

（1）求數列{an}的通項公式；

（2）若bn=（n∈N*），求數列{bn}的前n項和Tn．

（3）是否存在實數λ使得Tn+2＞λSn對n∈N+恒成立，若存在，求實數λ的取值范圍，若不存在說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，

【解析】

（1）直接利用遞推關系式的應用求出數列的通項公式．

（2）利用（1）的結論，進一步求出數列的通項公式．

（3）利用恒成立問題的應用和函數的單調性的應用求出參數的取值范圍．

（1）當n=1時，a1=2或-1（舍去）．

當n≥2時，，

整理可得：（an+an-1）（an-an-1-1）=0，

可得an-an-1=1，

∴{an}是以a1=2為首項，d=1為公差的等差數列．

∴．

（2）由（1）得an=n+1，

∴．

∴．

（3）假設存在實數λ，使得對一切正整數恒成立，

即對一切正整數恒成立，只需滿足即可，

令，

則

當

故 f（1）=1，f（2）=，f（3）=，＞f（5）＞f（6）＞…

當n=3時有最小值．

所以．