Question

【題目】某公園準備在一圓形水池里設置兩個觀景噴泉，觀景噴泉的示意圖如圖所示，兩點為噴泉，圓心為的中點，其中米，半徑米，市民可位于水池邊緣任意一點處觀賞．

（1）若當時，，求此時的值；

（2）設，且．

（i）試將表示為的函數，并求出的取值范圍；

（ii）若同時要求市民在水池邊緣任意一點處觀賞噴泉時，觀賞角度的最大值不小于，試求兩處噴泉間距離的最小值．

Answer 1

【答案】(1)；(2)(i)，；(ii).

【解析】

（1）在中，由正弦定理可得所求；

（2）（i）由余弦定理得，兩式相加可得所求解析式．（ii）在中，由余弦定理可得，根據的最大值不小于可得關于的不等式，解不等式可得所求．

（1）在中，由正弦定理得，

所以，

即．

（2）（i）在中，由余弦定理得，

在中，由余弦定理得，

又

所以，

即．

又，解得，

所以所求關系式為，．

（ii）當觀賞角度的最大時，取得最小值．

在中，由余弦定理可得

，

因為的最大值不小于，

所以，解得，

經驗證知，

所以．

即兩處噴泉間距離的最小值為．