Question

【題目】“楊輝三角”是我國(guó)數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就，是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列.如圖所示，去除所有為1的項(xiàng)，依此構(gòu)成數(shù)列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，則此數(shù)列的前56項(xiàng)和為_____.

Answer 1

【答案】4084

【解析】

先利用次二項(xiàng)式系數(shù)對(duì)應(yīng)楊輝三角形的第行，求出楊輝三角形的前項(xiàng)和，再結(jié)合楊輝三角形去除所有為1的項(xiàng)后，由最左側(cè)一列的特征，根據(jù)等差數(shù)列求解即可.

次二項(xiàng)式系數(shù)對(duì)應(yīng)楊輝三角形的第行，如，系數(shù)分別為1,2,1，對(duì)應(yīng)楊輝三角形的第3行；

令，就可以求出該行的系數(shù)之和，第一行為，第二行為，第三行為，以此類(lèi)推，即每一行數(shù)字和為首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列；

則楊輝三角形的前項(xiàng)和為；

若去除所有為1的項(xiàng)，則剩下的每一行的個(gè)數(shù)為1,2,3,4，……，可以看成是以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，則；

由此可得，當(dāng)，再加上第11行的第一項(xiàng)，所有項(xiàng)的個(gè)數(shù)為56，

由于最左側(cè)為2,3,4,5，……，是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，故第11行的第一項(xiàng)為12，

又楊輝三角形的前12項(xiàng)的和為，

則此數(shù)列的前56項(xiàng)和為.

故答案為4084