Question

已知是公差為的等差數列，是公比為的等比數列.
（Ⅰ）若 ，是否存在，有？請說明理由；
（Ⅱ）若（為常數，且），對任意，存在，有，試求滿足的充要條件；
（Ⅲ）若，試確定所有的,使數列中存在某個連續項的和為數列中的某一項，請證明.

Answer 1

（1）不存在、，使等式成立。（2）、滿足的充要條件是，其中是大于等于的整數    （3）見解析

（1）把代入整理得的關系，分析均為整數時，等式不成立，可得結論；（2）從特殊入手，先找到與 的關系，再對一般的給出證明；（3）由等比數列的求和公式求出數列中存在某個連續項的和，令，分析為奇數與偶數，利用二項式定理整理得到為奇數時滿足條件
（1）由得，整理后，可得 、，為整數不存在、，使等式成立。………………4分
（2）當時，則，即，其中是大于等于的整數反之當時，其中是大于等于的整數，則，
顯然，其中
、滿足的充要條件是，其中是大于等于的整數……………………9分
（3）設，即，
整理得 
當為偶數時，式左邊為4的倍數，右邊僅為2的倍數，故當為偶數時，結論不成立。
當時，符合題意。當，為奇數時，


  由，得
當為奇數時，此時，一定有和使上式一定成立。當為奇數時，命題都成立。
另解：設  ，
由為奇數，為大于等于3的奇數。
當為偶數時，式左邊==偶數，式右邊==奇數，此時矛盾；
當為奇數時，式左邊==奇數，所以存在滿足條件的，使得
成立。
綜上所述，為奇數時，滿足條件