Question

【題目】已知函數相鄰兩對稱軸間的距離為，若將的圖象先向左平移個單位，再向下平移1個單位，所得的函數為奇函數.

（1）求的解析式，并求的對稱中心；

（2）若關于的方程在區間上有兩個不相等的實根，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；對稱中心為：，（2）或

【解析】

（1）由周期求得，由函數的圖象變換規律可得，再根據的為奇函數求得和的值，可得和的解析式以及的對稱中心．

（2）由（1）可得，由題意可得可得關于的方程在區間上有唯一解．再利用二次函數的性質求得的范圍．

解：（1）由條件得：，

即，

則，

又為奇函數，

則，，

，，

令，，解得，，

故函數的對稱中心為：，

（2），又有（1）知，則，

的函數值從遞增到，又從遞減回.

令，則

由原命題得：在上僅有一個實根.

令，

則需或，

解得：或.