Question

【題目】設函數f（x）=x﹣a（x+1）ln（x+1），（x＞﹣1，a≥0）
（Ⅰ）求f（x）的單調區間；
（Ⅱ）當a=1時，若方程f（x）=t在 上有兩個實數解，求實數t的取值范圍；
（Ⅲ）證明：當m＞n＞0時，（1+m）n＜（1+n）m ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f′（x）=1﹣aln（x+1）﹣a
①a=0時，f′（x）＞0∴f（x）在（﹣1，+∞）上是增函數
②當a＞0時，f（x）在 上遞增，在 單調遞減
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在 上單調遞增，在[0，1]上單調遞減
又
∴
∴當 時，方程f（x）=t有兩解
（Ⅲ）要證：（1+m）n＜（1+n）m只需證nln（1+m）＜mln（1+n），
只需證：
設 ，則
由（Ⅰ）知x﹣（1+x）ln（1+x），在（0，+∞）單調遞減
∴x﹣（1+x）ln（1+x）＜0，即g（x）是減函數，而m＞n
∴g（m）＜g（n），故原不等式成立．
【解析】（Ⅰ）求導數，再利用導數大于0，求函數的單調區間；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在 上單調遞增，在[0，1]上單調遞減可得解（Ⅲ）根據要證明的結論，利用分析法來證明本題，從結論入手，要證結論只要證明后面這個式子成立，兩邊取對數，構造函數，問題轉化為只要證明函數在一個范圍上成立，利用導數證明函數的性質．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性和不等式的證明的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；不等式證明的幾種常用方法:常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構造法，函數單調性法，數學歸納法等才能正確解答此題．