Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）當a＝1時，寫出的單調遞增區間（不需寫出推證過程）；

（Ⅱ）當x＞0時，若直線y＝4與函數的圖像交于A，B兩點，記，求的最大值；

（Ⅲ）若關于x的方程在區間（1，2）上有兩個不同的實數根，求實數a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）遞增區間為； （2）4； （3）.

【解析】

（Ⅰ）當時，，由此能求出的單調遞增區間;

（Ⅱ）由，得當時，y=f（x）的圖象與直線y=4沒有交點；當a=4或a=0時，y=f（x）的圖象與直線y=4只有一個交點；當時，；當時，由，得，由，得，由此能求出的最大值;

（Ⅲ）要使關于x的方程有兩個不同的實數根，則，且，根據，且進行分類討論能求出的取值范圍．

（Ⅰ）f（x）的單調遞增區間為.

（Ⅱ）因為x＞0，所以（i）當a＞4時，y＝f（x）的圖像與直線y＝4沒有交點；

（ii）當a＝4或a＝0時，y＝f（x）的圖像與直線y＝4只有一個交點；

（iii）當0＜a＜4時，0＜g（a）＜4；

(iv)當a＜0時，由

得,

解得；

由，

得

解得.

所以.

故的最大值是4.

（Ⅲ）要使關于x的方程 （*）

有兩個不同的實數根，則.

（i）當a＞1時，由（*）得，

所以，不符合題意；

（ii）當0＜a＜4時，由（*）得，其對稱軸，不符合題意；

（iii）當a＜0，且a－1時，由（*）得，

又因，所以a＜－1.

所以函數在是增函數，

要使直線與函數圖像在（1，2）內有兩個交點，

則，

只需

解得.

綜上所述，a的取值范圍為.