Question

已知數列{a_n}的前n項和S_n滿足S_n＋a_n＋ ^n－1＝2(n∈N^*)，設c_n＝2ⁿa_n.
(1)求證：數列{c_n}是等差數列，并求數列{a_n}的通項公式．
(2)按以下規律構造數列{b_n}，具體方法如下：
b₁＝c₁，b₂＝c₂＋c₃，b₃＝c₄＋c₅＋c₆＋c₇，…，第n項b_n由相應的{c_n}中2^n－1項的和組成，求數列{b_n}的通項b_n. 

Answer 1

(1)  (2)

(1)證明:在S_n＋a_n＋ ^n－1＝2①中，令n＝1，得S₁＋a₁＋1＝2，∴a₁＝
當n≥2時，S_n－1＋a_n－1＋ ^n－2＝2，②
①－②得a_n＋a_n－a_n－1－ ^n－1＝0(n≥2)，
∴2a_n－a_n－1＝，∴2ⁿa_n－2^n－1a_n－1＝1.
又c_n＝2ⁿa_n，∴c_n－c_n－1＝1(n≥2)．
又c₁＝2a₁＝1，所以，數列{c_n}是等差數列．
于是c_n＝1＋(n－1)×1＝n，又∵c_n＝2ⁿa_n，∴a_n＝.
(2)解:由題意得
b_n＝c_2n－1＋c_2n－1＋1＋c_2n－1＋2＋…＋c_2n－1＝2^n－1＋(2^n－1＋1)＋(2^n－1＋2)＋…＋(2ⁿ－1)，而2^n－1,2^n－1＋1,2^n－1＋2，…，2ⁿ－1是首項為2^n－1，公差為1的等差數列，且共有2^n－1項，所以，b_n＝＝＝