【題目】設相互垂直的直線
，
分別過橢圓
的左、右焦點
，
，且與橢圓
的交點分別為
、
和
、
.
（1）當的傾斜角為
時，求以為直徑的圓的標準方程；
（2）問是否存在常數
，使得
恒成立？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）存在
，使得
恒成立，詳見解析
【解析】
（1）將直線
的方程與橢圓的方程聯立，列出韋達定理，計算出線段的中點坐標，利用弦長公式計算出
，于此得出圓心坐標和半徑長，再寫出圓的標準式方程；
（2）對直線的斜率是否存在進行分類討論，在直線的斜率不存在時，分別計算出和
，可計算出
的值，在直線的斜率存在且不為零時，設直線的方程為
，將該直線方程與橢圓方程聯立，利用弦長公式以及韋達定理計算出，同理計算出，代入題中等式計算出的值，從而說明實數存在。
（1）由題意可設的方程為
，代入
可得
．
所以，的中點坐標為
．
又
，
所以，以
為直徑的圓的方程為．
（2）假設存在常數，使得恒成立．
①當與
軸垂直或
與軸垂直時，
；
②設直線的方程為
，則直線的方程為
．
將的方程代入得：
．
由韋達定理得：
，
，
所以
．
同理可得
．
所以
．
因此，存在，使得恒成立．
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝1，點M是棱PC上的一點，且AM⊥PB．
（1）求三棱錐C﹣PBD的體積；
（2）證明：AM⊥平面PBD．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，點E為棱PC的中點．
(1)證明：BE⊥DC；
(2)求直線BE與平面PBD所成角的正弦值；
(3)若F為棱PC上一點，滿足BF⊥AC，求二面角F－AB－P的余弦值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓C：
的離心率為
，且過點
．
求橢圓的標準方程；
設直線l經過點
且與橢圓C交于不同的兩點M，N試問：在x軸上是否存在點Q，使得直線QM與直線QN的斜率的和為定值？若存在，求出點Q的坐標及定值，若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了調查民眾對國家實行“新農村建設”政策的態度，現通過網絡問卷隨機調查了年齡在20周歲至80周歲的100人，他們年齡頻數分布和支持“新農村建設”人數如下表：
年齡 |
|
|
|
|
|
|
頻數 | 10 | 20 | 30 | 20 | 10 | 10 |
支持“新農村建設” | 3 | 11 | 26 | 12 | 6 | 2 |
（1）根據上述統計數據填下面的
列聯表，并判斷是否有
的把握認為以50歲為分界點對“新農村建設”政策的支持度有差異；
年齡低于50歲的人數 | 年齡不低于50歲的人數 | 合計 | |
支持 | |||
不支持 | |||
合計 |
（2）現從年齡在
內的5名被調查人中任選兩人去參加座談會，求選出兩人中恰有一人支持新農村建設的概率.
參考數據：
| 0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
參考公式：
，其中
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了解某品種一批樹苗生長情況，在該批樹苗中隨機抽取了容量為120的樣本，測量樹苗高度（單位：
，經統計，其高度均在區間
，
內，將其按，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，分成6組，制成如圖所示的頻率分布直方圖．其中高度為
及以上的樹苗為優質樹苗．
（1）求圖中
的值，并估計這批樹苗的平均高度（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表）；
（2）已知所抽取的這120棵樹苗來自于
，
兩個試驗區，部分數據如下列聯表：
|
| 合計 | |
優質樹苗 | 20 | ||
非優質樹苗 | 60 | ||
合計 |
將列聯表補充完整，并判斷是否有
的把握認為優質樹苗與，兩個試驗區有關系，并說明理由．
下面的臨界值表僅供參考：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
（參考公式：
，其中
．
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