Question

【題目】已知函數.

（1）若恒成立，求在處的切線方程；

（2）若有且只有兩個整數解，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

(1)由恒成立可知即，即可得到在處的切線方程；

(2)可化簡為.對a分類討論，當時，顯然不適合，當時，原不等式可化為，數形結合分析可得結果.

（1）∵，∴.

∵恒成立，∴，∴.

當時，，∴在上單調遞減，在上單調遞增，

∴恒成立，∴符合題意.

∴，，故，，

∴在處的切線方程為，即.

（2）∵，化簡即.

（i）當時，時，，∴恒成立，

此時有無數個整數解，不合題意；

（ii）當時，原不等式可化為，令.

∴，令，∴，∴在上單調遞增.

又，，∴存在唯一使得.

∴在上單調遞減，在上單調遞增，且.

又，，，，

∴當原不等式有且只有兩個整數解時，，

即.