Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝1，點M是棱PC上的一點，且AM⊥PB．

（1）求三棱錐C﹣PBD的體積；

（2）證明：AM⊥平面PBD．

Answer 1

【答案】（1） （2）證明見解析

【解析】

(1)利用換頂點的方法VC﹣PBD＝VP﹣BCD求解即可.

(2)先證明面進而得出AM⊥平面PBD即可.

（1）PA⊥底面ABCD,PA＝1,即三棱錐P﹣BCD的高為PA＝1,,

所以,三棱錐C﹣PBD的體積VC﹣PBD＝VP﹣BCD,

APS△BCD

（2）由于PA⊥底面ABCD,所以PA⊥BD,

設AC,BD的交點為O,

由正方形知,BD⊥AC,

所以,BD⊥平面PAC,

從而,BD⊥AM

又AM⊥PB,所以AM⊥平面PBD