Question

【題目】某工廠改造一廢棄的流水線M，為評估流水線M的性能，連續兩天從流水線M生產零件上隨機各抽取100件零件作為樣本，測量其直徑后，整理得到下表：記抽取的零件直徑為X.

第一天

直徑/mm	58	59	61	62	63	64	65	66	67	68	69	70	71	73	合計
件數	1	1	3	5	6	19	33	18	4	4	2	1	2	1	100

第二天

直徑/mm	58	60	61	62	63	64	65	66	67	68	69	70	71	73	合計
件數	1	1	2	4	5	21	34	21	3	3	2	1	1	1	100

經計算，第一天樣本的平均值，標準差第二天樣本的平均值，標準差

（1）現以兩天抽取的零件來評判流水線M的性能.

（i）計算這兩天抽取200件樣本的平均值和標準差（精確到0.01）；

（ii）現以頻率值作為概率的估計值，根據以下不等式進行評判（P表示相應事件的概率），①；②；③評判規則為：若同時滿足上述三個不等式，則設備等級為優；僅滿足其中兩個，則等級為良；若僅滿足其中一個，則等級為合格；若全部不滿足，則等級為不合格，試判斷流水線M的性能等級.

（2）將直徑X在范圍內的零件認定為一等品，在范圍以外的零件認定為次品，其余認定為合格品.現從200件樣本除一等品外的零件中抽取2個，設為抽到次品的件數，求分布列及其期望.

附注：參考數據：，，；

參考公式：標準差.

Answer 1

【答案】（1）（i），；（ii）合格；（2）分布列見解析，

【解析】

（1）（ⅰ）因為兩天100個零件的平均值都是65，所以200個零件的平均值也是65，按照公式計算標準差；（ⅱ）分別計算的概率，然后比較等級；

（2）由（ⅱ）可知200件零件中合格品7個，次品4個，的可能取值為0，1，2，利用超幾何分布計算概率，并求分布列和數學期望.

（1）（i）依題意：200個零件的直徑平均值為由標準差公式得：

第一天：，第二天：，

則

故（注：如果寫出不給分）

（ii）由（1）可知：，

，

僅滿足一個不等式，判斷流水線M的等級為合格.

（2）可知200件零件中合格品7個，次品4個，的可能取值為0，1，2，則

，，，

的分布列

	0	1	2
P

則