Question

【題目】學校科技小組在計算機上模擬航天器變軌返回試驗，設計方案如圖：航天器運行（按順時針方向）的軌跡方程為，變軌（即航天器運行軌跡由橢圓變為拋物線）后返回的軌跡是以軸為對稱軸、為頂點的拋物線的實線部分，降落點為.觀測點、同時跟蹤航天器.

（1）求航天器變軌后的運行軌跡所在的曲線方程；

（2）試問：當航天器在軸上方時，觀測點、測得離航天器的距離分別為多少時，應向航天器發出變軌指令？

Answer 1

【答案】（1） （）；（2） 觀測點、測得離航天器的距離分別為和4時，應向航天器發出變軌指令.

【解析】

（1）先設出拋物線的方程，結合所經過的點求出方程；

（2）先求解變軌時的點的坐標，結合兩點間的距離可求.

（1）由題意，設拋物線的方程為，

因為拋物線經過點，所以，解得；

聯立可得，

故航天器變軌后的運行軌跡所在的曲線方程（）.

（2）當時，分別代入橢圓方程和拋物線方程均得到，所以在觀測點處測得離航天器的距離為4時，應向航天器發出變軌指令；

因為，所以在觀測點處測得離航天器的距離為時，應向航天器發出變軌指令.

故觀測點、測得離航天器的距離分別為和4時，應向航天器發出變軌指令.