Question

【題目】已知函數．

（1）求曲線在處的切線方程；

（2）函數在區間上有零點，求的值；

（3）若不等式對任意正實數恒成立，求正整數的取值集合．

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 的值為0或3 ；(3) .

【解析】

（1）由的值可得切點坐標，求出的值，可得切線斜率，利用點斜式可得曲線在點處的切線方程；（2）先利用導數判斷函數的單調性，然后根據零點存在定理可判斷在區間、上分別存在一個零點，從而可得結果；（3）當時，不等式為恒成立；當時，不等式可化為，可得，當時，不等式可化為，可得，結合（2），綜合三種情況，從而可得結果.

（1），所以切線斜率為，

又，切點為，所以切線方程為．

（2）令，得，

當時，，函數單調遞減；

當時，，函數單調遞增，

所以的極小值為，又，

所以在區間上存在一個零點，此時；

因為，，

所以在區間上存在一個零點，此時．綜上，的值為0或3．

（3）當時，不等式為．顯然恒成立，此時；

當時，不等式可化為，

令，則，

由（2）可知，函數在上單調遞減，且存在一個零點，

此時，即

所以當時，，即，函數單調遞增；

當時，，即，函數單調遞減．

所以有極大值即最大值，于是．

當時，不等式可化為，

由（2）可知，函數在上單調遞增，且存在一個零點，同理可得．

綜上可知．

又因為，所以正整數的取值集合為．