Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）討論的單調性；

（Ⅱ）若，且對任意的，都有，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）對a分和兩種情況討論，利用導數求函數的單調性；（Ⅱ）當時，由（Ⅰ）知在上單調遞增，在上單調遞減.再對a分三種情況討論，利用導數研究不等式的恒成立問題得解.

（Ⅰ）函數的定義域為，.

（i）當時，恒成立，

∴在上單調遞增.

（ii）當時，在上，在上，

∴在上單調遞增，在上單調遞減.

綜上，當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞增，在上單調遞減.

（Ⅱ）當時，由（Ⅰ）知在上單調遞增，在上單調遞減.

①當，即時，在上單調遞減，

，，解得.

∴.

②當，即時，在上單調遞增，

，，解得.

∴.

③當，即時，在上單調遞增，在上單調遞減.

.

則，即.

令，，

易得，所以在上單調遞增.

又∵，∴對任意的，都有.

∴.

綜上所述，的取值范圍為.