Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD∥BC，CD=13，AB=12，BC=10，AD=5，PD=8，點E，F分別是PB，DC的中點．
（1）求證：EF∥平面PAD；
（2）求EF與平面PDB所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取CB的中點G，連結DG，因為AD∥BG且AD=BD，

所以四邊形ABGD為平行四邊形，

所以DG=AB=12，

又因為AB⊥AD，

所以DG⊥AD，

又PD⊥平面ABCD，

故以點D原點建立如圖所示的空間直角坐標系．

因為BC=10，AD=5，PD=8，

所以有D（0，0，0），P（0，0，8），B（12，5，0），C（12，﹣5，0），

因為E，F分別是PB，DC的中點，

所以E（6，﹣2.5，0），F（6，2.5，4），

因為PD⊥平面ABCD，DG平面ABCD，

所以PD⊥DG，

又因為DG⊥AD，AD∩PD=D，AD，PD平面PAD，

所以DG⊥平面PAD，

所以 =（12，0，0）為平面PAD的一個法向量，

又 =（0，5，4）， =0，

所以 ，

又EF平面PAD，所以EF∥平面PAD

（2）解：設平面PAD的法向量為 =（x，y，z），

所以 ，即 ，即 ，

令x=5，則 =（5，﹣12，0）

所以EF與平面PDB所成角θ滿足：

sinθ= = = ，

所以EF與平面PDB所成角的正弦值為

【解析】取CB的中點G，連結DG，建立空間直角坐標系：（1） =（12，0，0）為平面PAD的一個法向量，根據 ，進而可證EF∥面PAD（2）平面PAD的法向量 =（5，﹣12，0），代和線面夾角公式，可得答案．