Question

【題目】已知橢圓C：1（a＞b＞0），橢圓C上的點到焦點距離的最大值為9，最小值為1．

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）求橢圓C上的點到直線l：4x﹣5y+40＝0的最小距離？

Answer 1

【答案】（1）．（2）．

【解析】

(1)根據題意列出方程組,求出,,,從而求出橢圓的標準方程.

(2)由題可知直線與橢圓不相交,將直線平移,可知其與橢圓相切時,切點到直線的距離最小或最大,據此可設直線平行于直線,將之與橢圓方程聯立,進而得解.

(1)因為橢圓C上的點到焦點距離的最大值為9,最小值為1,

所以a+c=9,a﹣c=1,

∴a=5,c=4,

∴b2=a2﹣c2=9,

∴橢圓的標準方程為:;

(2)由直線l的方程與橢圓的方程可以知道,直線l與橢圓不相交,

設直線m平行于直線l,則直線m的方程可以寫成4x﹣5y+k=0,

聯立,整理得25x2+8kx+k2﹣225=0,

令△=0,得64k2﹣4×25(k2﹣225)=0

解得k1=25或k2=﹣25,

∴當k1=25時,直線m與橢圓交點到直線l的距離最近,

此時直線m的方程為4x﹣5y+25=0,

直線m與直線l間的距離d,

所以,橢圓C上的點到直線l:4x﹣5y+40=0的最小距離是.