Question

設(shè)，，其中是常數(shù)，且．

（1）求函數(shù)的極值；

（2）證明：對任意正數(shù)，存在正數(shù)，使不等式成立；

（3）設(shè)，且，證明：對任意正數(shù)都有：．

 

Answer 1

（1）當時，取極大值，但沒有極小值（2）見解析（3）見解析

【解析】（1）∵， -----------------1分

由得，，

∴，即，解得，-----------------3分

故當時，；當時，；

∴當時，取極大值，但沒有極小值．-----------------4分

（2）∵，

又當時，令，則，

故，

因此原不等式化為，即， -----------------6分

令，則，

由得：，解得，

當時，；當時，．

故當時，取最小值，-----------------8分

令，則．

故，即．

因此，存在正數(shù)，使原不等式成立．-----------------10分

（3）對任意正數(shù)，存在實數(shù)使，，

則，，

原不等式，

-----------------14分

由（1）恒成立，

故，

取，

即得，

即，故所證不等式成立． -----------------14分