Question

已知函數，，函數的圖象在點處的切線平行于軸．

（1）確定與的關系；

（2）試討論函數的單調性；

（3）證明：對任意，都有成立。

 

Answer 1

（1）（2）當時，函數在(0,1)上單調遞增，在單調遞減；當時，函數在單調遞增，在單調遞減；在上單調遞增；當時，函數在上單調遞增，當時，函數在上單調遞增，在單調遞減；在上單調遞增（3）見解析

【解析】（1）依題意得，則

由函數的圖象在點處的切線平行于軸得：

∴-------------------------------------3分

（2）由（1）得----------4分

∵函數的定義域為

∴當時，在上恒成立，

由得，由得，

即函數在(0,1)上單調遞增，在單調遞減；----------------5分

當時，令得或，

若，即時，由得或，由得，

即函數在，上單調遞增，在單調遞減；---------6分

若，即時，由得或，由得，

即函數在，上單調遞增，在單調遞減；------------7分

若，即時，在上恒有，

即函數在上單調遞增， -----------------8分

綜上得：當時，函數在(0,1)上單調遞增，在單調遞減；

當時，函數在單調遞增，在單調遞減；在上單調遞增；

當時，函數在上單調遞增，

當時，函數在上單調遞增，在單調遞減；在上單調遞增．

（3）證法一：由（2）知當時，函數在單調遞增，，即，------------11分

令，則，-------------------------------------12分

即--------14分

證法二：構造數列，使其前項和，

則當時，，-------11分

顯然也滿足該式，

故只需證-------------------12分

令，即證，記，

則，

在上單調遞增，故，

∴成立，

即． -14分