Question

【題目】對于曲線所在的平面上的定點，若存在以點為頂點的角，使得對于曲線上的任意兩個不同的點恒成立，則稱角為曲線的“點視角”，并稱其中最小的“點視角”為曲線相對于點的”點確視角”.已知曲線和圓是軸上一點

（1）對于坐標原點，寫出曲線的“點確視角”的大小；

（2）若在曲線上，求的最小值；

（3）若曲線和圓的“點確視角”相等，求點坐標.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根據“點確視角”的定義,可知“點確視角”即為原點與兩條漸近線所成角的大小,結合漸近線方程即可求得該角大小.

（2）設出Q點坐標,代入雙曲線方程可得Q的橫縱坐標的等量關系.根據兩點間距離公式即可表示出,根據Q橫坐標的取值范圍討論P點的位置,即可求得的最小值.

（3）根據雙曲線與圓的“點確視角”相等,可得與雙曲線相切的直線方程,聯立后通過判別式即可求得點坐標.

（1）由題意可知, “點確視角”即為原點與兩條漸近線所成角的大小,

因為曲線,兩條漸近線方程為

兩條漸近線的傾斜角分別為與

所以兩條漸近線的夾角為

即“點確視角”為

（2）設,代入曲線方程可得

,化簡即為

因為

則

因為在雙曲線右支上,所以

所以當時, 則

所以當時, 則

綜上可知,

（3）曲線和圓

根據題意將兩個曲線畫在坐標系中,如下圖所示:

因為曲線和圓的“點確視角”相等

由圖像可知它們共同的“點確視角”為鈍角

雙曲線的兩條漸近線方程為

所以當時,過P點與雙曲線相切時, “點確視角”相等

則切線方程可表示為

聯立雙曲線,化簡得

根據相切時可得

解得或

因為

故