Question

【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1=1，Sn＋1=4an＋2.

(1)設(shè)bn=an＋12an，證明：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2) an=(3n1)·2n2.

【解析】

(1)由a1=1及Sn＋1=4an＋2，得a1＋a2=S2=4a1＋2.

∴a2=5，

∴b1=a22a1=3.

又

①②，得an＋1=4an4an1，

∴an＋12an=2(an2an1)．

∵bn=an＋12an，

∴bn=2bn1，

故{bn}是首項(xiàng)b1=3，公比為2的等比數(shù)列.

(2)由(1)知bn=an＋12an=3·2n1，

∴=，

故是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列．

∴=＋(n1)·=，

故an=(3n1)·2n2.