Question

【題目】設f（x）=x3+x，x∈R，當0≤θ≤π時，f（mcosθ）+f（sinθ﹣2m）＜0恒成立，則實數m的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】（ ，+∞）
【解析】解：∵f（x）=x3+x，∴f（x）在R上遞增且為奇函數，
∴當0≤θ≤π時，f（mcosθ）+f（sinθ﹣2m）＜0等價為：
當0≤θ≤π時，f（mcosθ）＜﹣f（sinθ﹣2m）=f（2m﹣sinθ），
即mcosθ＜2m﹣sinθ，
即m（2﹣cosθ）＞sinθ
∵0≤θ≤π，∴2﹣cosθ＞0，
則不等式等價為m＞
設g（θ）= ，則g′（θ）= = ，
∵0≤θ≤π，
∴由g′（θ）=0得cosθ= ，即θ= ，
由g′（θ）＞0得cosθ＞ ，即0＜θ＜ ，
由g′（θ）＜0得cosθ＜ ，即 ＜θ＜π，
即當θ= 時，g（θ）取得極大值g（ ）= = = ，
則m＞ ，
所以答案是：（ ，+∞）
【考點精析】根據題目的已知條件，利用函數單調性的判斷方法和函數的奇偶性的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱．