Question

【題目】如圖，四棱錐中，底面是邊長為的菱形，且，側面為等邊三角形，且與底面垂直， 為的中點．

（Ⅰ）求證： ；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：（Ⅰ）由題意取CD中點O，則AO⊥CD，PO⊥底面ABCD，分別以OD、OA、OP分別為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，由題意可得相關點的坐標，由可得；

（Ⅱ）設直線與平面所成角為，求出直線的方向向量和面的法向量，根據即可得解.

試題解析：

由底面為菱形且，∴， 是等邊三角形，

取中點，有，

∴為二面角的平面角， ∴．

分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標系如圖， 　　　

則．

（Ⅰ）由為中點， ∴

∴

（Ⅱ）由， ，∴ ，

∴ 平面的法向量可取

， 設直線與平面所成角為，

則．

即直線與平面所成角的正弦值為 ．