Question

（本小題滿分15分）如圖，已知橢圓：＋＝1(a＞b＞0)的長軸AB長為4，離心率e＝，O為坐標原點，過B的直線l與x軸垂直．P是橢圓上異于A、B的任意一點，PH⊥x軸，H為垂足，延長HP到點Q使得HP＝PQ，連結AQ延長交直線于點M，N為的中點．
（1）求橢圓的方程；
（2）證明：Q點在以為直徑的圓上；
（3）試判斷直線QN與圓的位置關系．

Answer 1

(1)
(2)相切

解：（1）由題設可得，解得，∴．   （2分）
∴橢圓的方程為．                                 （4分）
（2）設，則．∵，∴．
∴．                                    （7分）
∴點在以為圓心，2為半徑的的圓上．即點在以為直徑的圓上． （9分）
（3）設，則，且．又，
∴直線的方程為．令，得．又，為的中點，
∴．∴，．           （12分）
∴
．∴．                     （14分）
∴直線與圓相切．                                      （15分）