Question

（2007•崇文區(qū)二模）如圖所示，已知A（-1，0），B（1，0），直線l垂直AB于A點(diǎn)，P為l上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為線段BP上一點(diǎn)，且滿足

BP

=2

BN

，點(diǎn)M滿足

PM

=λ

AB

（λ＞0），

MN

•

BP

=0．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程C；
（Ⅱ）在上述曲線C內(nèi)是否存在一點(diǎn)Q，若過點(diǎn)Q的直線與曲線C交于兩點(diǎn)E、F，使得以EF為直徑的圓都與l相切．若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（I）由

MN

•

BP

=0，

BP

=2

BN

知MN為線段BP的垂直平分線，即|MB|=|MP|，由拋物線定義知點(diǎn)M的軌跡為拋物線，點(diǎn)B為焦點(diǎn)，直線l為準(zhǔn)線，進(jìn)而可得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程C；
（Ⅱ）結(jié)合（I）中結(jié)論，設(shè)EF為拋物線的焦點(diǎn)弦，設(shè)其中點(diǎn)為H，分別由E、H、F向l作垂線，垂足分別為R、S、T．根據(jù)梯形中位線定理可得EF為直徑的圓的圓心到直線l的距離等于半徑．即以EF為直徑的圓必與直線l相切．

解答：解：（I）由

BP

=2

BN

知點(diǎn)N為BP中點(diǎn)
由

PM

=λ

AB

（λ＞0），知

PM

∥

AB

且點(diǎn)M與B位于l同側(cè)
∵

MN

•

BP

=0，
∴

MN

⊥

BP

由此知MN為線段BP的垂直平分線，
所以應(yīng)有|MB|=|MP|
由拋物線定義知點(diǎn)M的軌跡為拋物線，點(diǎn)B為焦點(diǎn)，直線l為準(zhǔn)線…（8分）
因?yàn)锳（-1，0），B（1，0），
所以l：x=-1
拋物線方程為y²=4x，即為點(diǎn)M的軌跡方程…（10分）
（II）存在點(diǎn)Q，即為焦點(diǎn)B（1，0）…（11分）
先證明如下：設(shè)EF為拋物線的焦點(diǎn)弦，設(shè)其中點(diǎn)為H，分別由E、H、F向l作垂線，垂足分別為R、S、T．
由梯形的中位線知：|HS|=

1

2

(|ER|+|FT|)=

1

2

(|EB|+|FB|)=

1

2

|EF|…（13分）
即以EF為直徑的圓的圓心到直線l的距離等于半徑．
所以以EF為直徑的圓必與直線l相切．
所以，存在點(diǎn)Q，其坐標(biāo)為（1，0）．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是拋物線的定義及性質(zhì)，熟練掌握拋物線的定義和性質(zhì)及直線與圓的位置關(guān)系等基本知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．