Question

【題目】已知函數f（x）=ax3+bx2﹣3x在x=±1處取得極值．
（1）討論f（1）和f（﹣1）是函數f（x）的極大值還是極小值；
（2）過點A（0，16）作曲線y=f（x）的切線，求此切線方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：f'（x）=3ax2+2bx﹣3，依

題意，f'（1）=f'（﹣1）=0，

即

解得a=1，b=0．

∴f（x）=x3﹣3x，f'（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1）．

令f'（x）=0，得x=﹣1，x=1．

若x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），

則f'（x）＞0，

故f（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函數，f（x）在（1，+∞）上是增函數．

若x∈（﹣1，1），

則f'（x）＜0，故f（x）在（﹣1，1）上是減函數．

所以，f（﹣1）=2是極大值；f（1）=﹣2是極小值．

（2）解：曲線方程為y=x3﹣3x，點A（0，16）不在曲線上．

設切點為M（x0，y0），

則點M的坐標滿足y0=x03﹣3x0．

因f'（x0）=3（x02﹣1），

故切線的方程為y﹣y0=3（x02﹣1）（x﹣x0）

注意到點A（0，16）在切線上，有16﹣（x03﹣3x0）=3（x02﹣1）（0﹣x0）

化簡得x03=﹣8，

解得x0=﹣2．

所以，切點為M（﹣2，﹣2），切線方程為9x﹣y+16=0

【解析】（1）求出f'（x），因為函數在x=±1處取得極值，即得到f'（1）=f'（﹣1）=0，代入求出a與b得到函數解析式，然后討論利用x的取值范圍討論函數的增減性，得到f（1）和f（﹣1）分別是函數f（x）的極小值和極大值；（2）先判斷點A（0，16）不在曲線上，設切點為M（x0 ， y0），分別代入導函數和函數中寫出切線方程，因為A點在切線上，把A坐標代入求出切點坐標即可求出切線方程．
【考點精析】利用函數的極值與導數對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．