Question

【題目】函數在點處的切線方程為.

（Ⅰ）求實數，的值；

（Ⅱ）求的單調區間；

（Ⅲ），成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）函數的減區間是，增區間是；（3）的取值范圍是．.

【解析】試題分析：(Ⅰ)求得， 分別令，，即可求得的值；

(Ⅱ)由(Ⅰ)得和，由于在區間上為增函數，且，進而得到函數的單調區間；

(Ⅲ)構造函數，由成立，等價于，再由(Ⅱ)知當時，，即（當且僅當時取等號），即可求解實數的取值范圍．

試題解析：

(Ⅰ)，

依題意得，，則有

．

(Ⅱ)由(Ⅰ)得，，

由于在區間上為增函數，且，

則當時，；當時，，

故函數的減區間是，增區間是．

(Ⅲ) 因為，

于是構造函數，

，成立，等價于，

由(Ⅱ)知當時，，即對恒成立．

即（當且僅當時取等號）

所以函數，又時，，

所以．故的取值范圍是．