Question

【題目】三棱錐中，側(cè)面底面, 是等腰直角三角形的斜邊，且.

（1）求證： ；

（2）已知平面平面，平面平面， ，且到平面的距離相等，試確定直線及點(diǎn)的位置（說明作法及理由），并求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）見解析..

【解析】試題分析：（1）根據(jù)面面垂直可得線面垂直，故在內(nèi)作，交于，連結(jié)，則由側(cè)面底面， 得底面，然后證得O為中點(diǎn)即可得

從而得證；（2）根據(jù)面面平行的性質(zhì)可得，由到平面的距離相等可得//平面或中點(diǎn)在平面上，又 平面,平面∩平面

// 或中點(diǎn)在上, 或為平行四邊形,即. 所以,過點(diǎn)A在平面ABC內(nèi)作直線平行于BC，則所作直線即為l,以A為圓心BC長為半徑作弧與l交點(diǎn)即為點(diǎn) (或在l上到A距離為2的點(diǎn)即為點(diǎn))其中.

解析：

（Ⅰ）法一:在內(nèi)作，交于，連結(jié)，

則由側(cè)面底面，

得底面

又， ，

， 為等腰直角三角形， ，

又∩= ,

即

法二:取中點(diǎn)，連結(jié), ,由側(cè)面底面

得,

由已知,

，

又∩= ,

即

（Ⅱ）法一:

平面∥平面,平面∩平面,平面∩平面

到平面的距離相等 //平面或中點(diǎn)在平面上

又 平面,平面∩平面

// 或中點(diǎn)在上,

或為平行四邊形,即.

所以,過點(diǎn)A在平面ABC內(nèi)作直線平行于BC，則所作直線即為l,以A為圓心BC長為半徑作弧與l交點(diǎn)即為點(diǎn) (或在l上到A距離為2的點(diǎn)即為點(diǎn))

其中

法二: 到平面的距離相等

平面∥平面，平面∩平面，平面∩平面

// 或中點(diǎn)在上,

或為平行四邊形,即.

所以,過點(diǎn)A在平面ABC內(nèi)作直線平行于BC，則所作直線即為l,以A為圓心BC長為半徑作弧與l交點(diǎn)即為點(diǎn) (或在l上到A距離為2的點(diǎn)即為點(diǎn))