Question

設數列{b_n}滿足b₁=1，b_n+1=2b_n+1，若數列{a_n}滿足：a₁=1，且當n≥2，n∈N^*時，an=bn(

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn-1

)
（I） 求b₂，b₃，b₄及b_n；
（II）證明：

n

k=1

(1+

1

ak

)＜

10

3

(n∈N*)，（注：

n

k=1

(1+

1

ak

)=(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)…(1+

1

an

)）．

Answer 1

分析：（I）由b₁=1，b_n+1=2b_n+1，分別令n=1和n=2，先求出b₂和b₃，再由b_n+1=2b_n+1，利用構造法求出{b_n}的通項公式．
（II）先證明

an+1

an+1

=

bn

bn+1

（n≥2，n∈N^*），由該結論得

n

k=1

(1+

1

ak

)=(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)…(1+

1

an

)）=2（

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn-1

+

1

bn

），再由

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn-1

+

1

bn

=1+

1

3

+…+

1

2n-1

，利用放縮法即可證明結論；

解答：（Ⅰ）解：∵b₁=1，b_n+1=2b_n+1，
∴b₂=2×1+1=3，b₃=2×3+1=7，b₄=2×7+1=15，
∵b_n+1=2b_n+1，∴b_n+1+1=2（b_n+1），
所以{b_n+1}為公比為2的等比數列，首項為2，
∴b_n+1=（b₁+1）•2^n-1=2•2^n-1=2ⁿ，
∴b_n=2ⁿ-1．
（II）證明：a₁=1，a_n=b_n（

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn-1

）（n≥2且n∈N^*），
∴

an

bn

=

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn-1

，

an+1

bn+1

=

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn-1

+

1

bn

，
∴

an+1

bn+1

-

an

bn

=

1

bn

，∴

an+1

bn+1

=

an+1

bn

，
∴

an+1

an+1

=

bn

bn+1

（n≥2且n∈N^*）．
所以

n

k=1

(1+

1

ak

)=(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)…(1+

1

an

)）
=

a1+1

a1

×

a2+1

a2

×

a3+1

a3

×…×

an+1

an

=

a1+1

a1a2

×

a2+1

a3

×

a3+1

a4

×…×

an+1

an+1

•an+1
=

2

3

×

b2

b3

×

b3

b4

×…×

bn

bn+1

•a_n+1
=

2

3

×

b2

bn+1

•a_n+1=2•

an+1

bn+1

=2（

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn-1

+

1

bn

），
而

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn-1

+

1

bn

=1+

1

3

+…+

1

2n-1

，
當k≥2時，

1

2k-1

=

2k-1-1

(2k-1)(2k+1-1)

＜

2k+1

(2k-1)(2k+1-1)

=2（

1

2k-1

-

1

2k+1-1

），
∴1+

1

3

+…+

1

2n-1

=1+2[（

1

22-1

-

1

23-1

）+（

1

23-1

-

1

24-1

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1-1

）
=1+2（

1

3

-

1

2n+1-1

）＜

5

3

＜

10

3

．

點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查不等式的證明，考查數列、不等式知識，考查化歸與轉化、分類與整合的數學思想，培養學生的抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和創新意識．