Question

（2013•嘉定區一模）定義x₁，x₂，…，x_n的“倒平均數”為

n

x1+x2+…+xn

（n∈N^*）．已知數列{a_n}前n項的“倒平均數”為

1

2n+ 4

，記c_n=

an

n+1

（n∈N^*）．
（1）比較c_n與c_n+1的大小；
（2）設函數f（x）=-x²+4x，對（1）中的數列{c_n}，是否存在實數λ，使得當x≤λ時，f（x）≤c_n對任意n∈N^*恒成立？若存在，求出最大的實數λ；若不存在，說明理由．
（3）設數列{b_n}滿足b₁=1，b₂=b（b∈R且b≠0），b_n=|b_n-1-b_n-2|（n∈N^*且n≥3），且{b_n}是周期為3的周期數列，設T_n為{b_n}前n項的“倒平均數”，求

lim

n→∞

T_n．

Answer 1

分析：（1）根據

n

Sn

=

1

2n+4

，可得S_n=2n²+4n，進而可得a_n=4n+2（n∈N^*），c_n=

an

n+1

=4-

2

n+1

，從而可得c_n+1-c_n＞0，由此可得結論；
（2）假設存在實數λ，使得當x≤λ時，f（x）≤c_n對任意n∈N^*恒成立，即-x²+4x≤c_n對任意n∈N^*恒成立，從而可得x²-4x+3≥0，解不等式，即可得到結論；
（3）由b₁=1，b₂=b，得b₃=|b-1|，分類討論，結合{b_n}是周期為3的周期數列，可得{b_n}為1，1，0，1，1，0，…，進而可得S_n=

2n 3 ，n=3k 2n+2 3 ，n=3k-1 2n+1 3 ，n=3k-2

，由此可求結論．

解答：解：（1）設數列{a_n}的前n項和為S_n，由題意得

n

Sn

=

1

2n+4

，所以S_n=2n²+4n，…（1分）
當n=1時，a₁=S₁=6，當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=4n+2，而a₁也滿足此式．
所以a_n=4n+2（n∈N^*）．…（1分）
所以c_n=

an

n+1

=4-

2

n+1

，…（1分）
∴c_n+1-c_n=

2

n+1

-

2

n+2

=

2

(n+1)(n+2)

＞0，因此c_n＜c_n+1．…（1分）
（2）假設存在實數λ，使得當x≤λ時，f（x）≤c_n對任意n∈N^*恒成立，
即-x²+4x≤c_n對任意n∈N^*恒成立，…（2分）
由（1）知數列{c_n}是遞增數列，所以只要-x²+4x≤c₁，即x²-4x+3≥0，（2分）
解得x≤1或x≥3．…（1分）
所以存在最大的實數λ=1，使得當x≤λ時，f（x）≤c_n對任意n∈N^*恒成立．…（1分）
（3）由b₁=1，b₂=b，得b₃=|b-1|，…（1分）
①若b≥1，則b₃=b-1，b₄=|b₃-b₂|=1，b₅=|2-b|，因為{b_n}是周期為3的周期數列，故b₅=b₂=b，所以|2-b|=b，所以2-b=b，2-b=-b（舍），故b=1．
此時，{b_n}為1，1，0，1，1，0，…．符合題意．…（1分）
②若b＜1，則b₃=1-b，b₄=|b₃-b₂|=|1-2b|，因為{b_n}是周期為3的周期數列，故b₄=b₁=1，所以|1-2b|=1，即1-2b=1或1-2b=-1，解得b=0或b=1，均不合題意．…（1分）
設數列{b_n}的前n項和為S_n，則對n∈N^*，有S_n=

2k，n=3k 2k，n=3k-1 2k-1，n=3k-2

…（1分）
即S_n=

2n 3 ，n=3k 2n+2 3 ，n=3k-1 2n+1 3 ，n=3k-2

，
所以T_n=

3 2 ，n=3k 3n 2n+2 ，n=3k-1 3n 2n+1 ，n=3k-2

，
因此

lim

n→∞

T_n=

3

2

．（2分）

點評：本題考查新定義，考查數列的通項，考查恒成立問題，考查數列的求和與極限，確定數量的通項是關鍵．