【題目】已知函數
定義域為
，若對于任意的
，都有
，且
時，有
.
（1）判斷并證明函數
的奇偶性；
（2）判斷并證明函數
的單調性；
（3）設
，若
，對所有
，
恒成立，求實數
的取值范圍.
【答案】（1）奇函數，證明見解析；（2）增函數，證明見解析；（3）
或
.
【解析】
試題分析：（1）利用賦值法先求出
，然后令
，可得
與
的關系，從而判定函數的奇偶性；（2）根據函數單調性的定義先在定義域上任取零點，并規定大小，然后判斷函數的大小，從而確定函數的單調性；（3）關于恒成立的問題常常進行轉化，若
，對所有
，
恒成立，可轉化成
恒成立，然后將其看出關于
的函數，即可求解.
試題解析：（1）因為有
，
令
，得
，所以，
令可得：
，所以
，所以
為奇函數.
（2）∵是定義在
上的奇函數，由題意設
，
則
，
由題意
時，有
，∴
，∴是在上為單調遞增函數；
（3）因為在上為單調遞增函數，所以在上的最大值為
，
所以要使，對所有，恒成立，
只要
，即恒成立.
令
，
得
，
∴或.
世紀百通期末金卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的右準線方程為
，又離心率為
，橢圓的左頂點為
，上頂點為
，點
為橢圓上異于
任意一點．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線
與
軸交于點
，直線
與
軸交于點
，求證： 
為定值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設橢圓C： 
=1的離心率e= 
，動點P在橢圓C上，點P到橢圓C的兩個焦點的距離之和是4．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若橢圓C1的方程為 
=1（m＞n＞0），橢圓C2的方程為 =λ（λ＞0，且λ≠1），則稱橢圓C2是橢圓C1的λ倍相似橢圓．已知橢圓C2是橢圓C的3倍相似橢圓．若過橢圓C上動點P的切線l交橢圓C2于A，B兩點，O為坐標原點，試證明當切線l變化時|PA|=|PB|并研究△OAB面積的變化情況．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知圓
的圓心在直線
上，且圓經過點
與點
.
（1）求圓的方程；
（2）過點
作圓的切線，求切線所在的直線的方程.
【答案】（1）
；（2）
或
.
【解析】試題分析：（1）求出線段
的中點
，進而得到線段的垂直平分線為
，與
聯立得交點
，∴
.則圓的方程可求
（2）當切線斜率不存在時，可知切線方程為.
當切線斜率存在時，設切線方程為
，由到此直線的距離為
，解得
，即可到切線所在直線的方程.
試題解析：（（1）設 線段的中點為，∵
，
∴線段的垂直平分線為，與聯立得交點，
∴.
∴圓的方程為
.
（2）當切線斜率不存在時，切線方程為.
當切線斜率存在時，設切線方程為，即
，
則到此直線的距離為，解得
，∴切線方程為
.
故滿足條件的切線方程為或.
【點睛】本題考查圓的方程的求法，圓的切線，中點弦等問題，解題的關鍵是利用圓的特性，利用點到直線的距離公式求解．
【題型】解答題
【結束】
20
【題目】某小型企業甲產品生產的投入成本
（單位：萬元）與產品銷售收入
（單位：萬元）存在較好的線性關系，下表記錄了最近5次產品的相關數據.
| 7 | 10 | 11 | 15 | 17 |
| 19 | 22 | 25 | 30 | 34 |
（1）求
關于
的線性回歸方程；
（2）根據（1）中的回歸方程，判斷該企業甲產品投入成本20萬元的毛利率更大還是投入成本24萬元的毛利率更大（
）？
相關公式： 
， 
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知各項均為正數的數列{an}的前n項和Sn＞1，且6Sn=（an+1）（an+2），n∈N* ．
（1）求{an}的通項公式；
（2）若數列{bn}滿足bn= 
，求{bn}的前n項和．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知復數z＝
，（m∈R，i是虛數單位）．
（1）若z是純虛數，求m的值；
（2）設
是z的共軛復數，復數
＋2z在復平面上對應的點在第一象限，求m的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，AB是⊙O的一條切線，切點為B，直線ADE、CFD、CGE都是⊙O的割線，已知AC=AB． 
（1）若CG=1，CD=4．求 
的值．
（2）求證：FG∥AC．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某中學對男女學生是否喜愛古典音樂進行了一個調查，調查者對學校高三年級隨機抽取了100名學生，調查結果如表：
喜愛 | 不喜愛 | 總計 | |
男學生 | 60 | 80 | |
女學生 | |||
總計 | 70 | 30 |
附：K2= 
P（K2≥k0） | 0.100 | 0.050 | 0.010 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 6.635 |
（1）完成如表，并根據表中數據，判斷是否有95%的把握認為“男學生和女學生喜歡古典音樂的程度有差異”；
（2）從以上被調查的學生中以性別為依據采用分層抽樣的方式抽取10名學生，再從這10名學生中隨機抽取5名學生去某古典音樂會的現場觀看演出，求正好有X個男生去觀看演出的分布列及期望．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】（12分）已知函數f（x）=
（1）判斷函數在區間[1,+∞）上的單調性,并用定義證明你的結論．
（2）求該函數在區間[1,4]上的最大值與最小值．
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