Question

已知函數的圖象過點(1,2)，相鄰兩條對稱軸間的距離為2，且的最大值為2.
（Ⅰ）求的單調遞增區間；
（Ⅱ）計算；
（Ⅲ）設函數，試討論函數在區間[1，4]上的零點情況.

Answer 1

（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅲ）見解析（Ⅲ）

(I)根據題目給的條件可A=2，T=4，可得,再根據圖像過點（1，2），
可求出.從而確定f(x)的表達式進而可求出其單調增區間.
，
由于的最大值為2且A>0，
∴ 所以即A=2
∴，又函數的圖象過點(1,2)則

∴
由得

∴的單調增區間是
(II)由于周期為4,所以只需要求出f(1),f(2),f(3),f(4)的值，然后即可知.
由（Ⅰ）知，
∴的周期為4，而2012=4×503
且
∴原式
(III)解本小題的關鍵是知道
函數的零點個數即為函數的圖象與直線的交點個數.然后分別作出其圖像，從圖像上觀察得到結論即可.
函數的零點個數即為函數的圖象與直線的交點個數.
在同一直角坐標系內作出這兩個函數的圖象(如下圖所示)，

由圖象可知:
1）當或時，函數的圖象與直線無公共點，即函數無零點；
2）當或時，函數的圖象與
直線有一個公共點，即函數有一個零點；
3）當時，函數的圖象與
直線有兩個公共點，即函數有兩個零點.