Question

【題目】對定義域分別是、的函數，，一個函數：.

（Ⅰ）若，，寫出函數的解析式；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若恒成立，求實數的取值范圍；

（Ⅲ）當，時，若函數有四個零點，分別為，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2);(3).

【解析】分析：（I）可分和兩種情況得到分段函數；（Ⅱ）根據不等式恒成立，可將不等式表示為，即，將問題轉化為求分段函數的最大值；（Ⅲ）因為函數與的定義域沒有交集，所以分或兩種情況得到函數，再根據函數圖像的對稱性和對數的運算得到特征求得 ，將表示為，利用函數特征求取值范圍.

詳解：（Ⅰ）由于 ，，依題意可得

當時，

；

當時，，

所以.

（Ⅱ）由(Ⅰ)可得時，，

當，，

的最大值為．

又恒成立， 恒成立，等價于．

實數的取值范圍是．

（Ⅲ）依題意可得

不妨設，結合圖像知，且，，

由得，所以，且，

當時遞增，所以，

故的取值范圍是．