Question

過曲線外的點作曲線的切線恰有兩條，
（1）求滿足的等量關系；
（2）若存在，使成立，求的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ），
過點A（1，0）作曲線C的切線，設切點，則切線方程為：
將代入得：
即（*）   由條件切線恰有兩條，方程（*）恰有兩根。
令，，顯然有兩個極值點x＝0與x＝1，
于是或
當時，；
當時，，此時經過（1，0）與條件不符
所以           
（Ⅱ）因為存在，使，即
所以存在，使，得，即成立
設，問題轉化為的最大值
，
，令得，
當時此時為增函數，當時，此時為減函數，
所以的最大值為
，的最大值，得
所以在上單調遞減，
因此。 

略