Question

（滿分14分）設函數的定義域是R，對于任意實數，恒有
，且當時，。
⑴求證：，且當時，有；
⑵判斷在R上的單調性；
⑶設集合，集合，若A∩B＝，求a的取值范圍。

Answer 1

解：⑴f(m+n)=f(m)f(n)，令m=1,n=0，則f(1)=f(1)f(0)，且由x>0時，0<f(x)<1，∴f(0)=1；設m=x<0，n=－x>0，∴f(0)=f(x)f(－x)，∴f(x)＝>1。
⑵設x₁<x₂，則x₂－x₁>0，∴0<f(x₂－x₁)<1，∴f(x₂)－f(x₁)＝f[(x₂－x₁)+x₁]－f(x₁)＝f(x₂－x₁)f(x₁)－f(x₁)＝f(x₁)[f(x₂－x₁)－1]<0，∴f(x)在R上單調遞減。
⑶∵f(x²)f(y²)>f(1)，∴f(x²+y²)>f(1)，由f(x)單調性知x²+y²<1，又f(ax－y+2)=1=f(0)，
∴ax－y+2=0，又A∩B＝，∴，∴a²+1≤4，從而。

略