Question

（2012•上海）已知數列{a_n}、{b_n}、{c_n}滿足(an+1-an)(bn+1-bn)=cn(n∈N*)．
（1）設c_n=3n+6，{a_n}是公差為3的等差數列．當b₁=1時，求b₂、b₃的值；
（2）設cn=n3，an= n2 -8n．求正整數k，使得對一切n∈N^*，均有b_n≥b_k；
（3）設cn=2n +n，an=

1+(-1)n

2

．當b₁=1時，求數列{b_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）先根據條件得到數列{b_n}的遞推關系式，即可求出結論；
（2）先根據條件得到數列{b_n}的遞推關系式；進而判斷出其增減性，即可求出結論；
（3）先根據條件得到數列{b_n}的遞推關系式；再結合疊加法以及分類討論分情況求出數列{b_n}的通項公式，最后綜合即可．

解答：解：（1）∵a_n+1-a_n=3，
∴b_n+1-b_n=n+2，
∵b₁=1，
∴b₂=4，b₃=8．
（2）∵an= n2 -8n．
∴a_n+1-a_n=2n-7，
∴b_n+1-b_n=

n3

2n-7

，
由b_n+1-b_n＞0，解得n≥4，即b₄＜b₅＜b₆…；
由b_n+1-b_n＜0，解得n≤3，即b₁＞b₂＞b₃＞b₄．
∴k=4．
（3）∵a_n+1-a_n=（-1）ⁿ⁺¹，
∴b_n+1-b_n=（-1）ⁿ⁺¹（2ⁿ+n）．
∴b_n-b_n-1=（-1）ⁿ（2^n-1+n-1）（n≥2）．
故b₂-b₁=2¹+1；
b₃-b₂=（-1）（2²+2），
…
b_n-1-b_n-2=（-1）^n-1（2^n-2+n-2）．
b_n-b_n-1=（-1）ⁿ（2^n-1+n-1）．
當n=2k時，以上各式相加得
b_n-b₁=（2-2²+…-2^n-2+2^n-1）+[1-2+…-（n-2）+（n-1）]
=

2-2 n-1(-2)

1-(-2)

+

n

2

=

2+2n

3

+

n

2

．
∴b_n=

2+2n

3

+

n

2

+1=

2n

3

+

n

2

+

5

3

．
當n=2k-1時，
bn=bn+1-(-1) n+1(2n+n)
=

2n+1

3

+

n+1

2

+

5

3

-（2ⁿ+n）
=-

2n

3

-

n

2

+

13

6

∴b_n=

- 2n 3 - n 2 + 13 6        n=2k-1 2n 3 + n 2 + 5 3          n=2k

k∈N +．

點評：本題主要考察數列遞推關系式在求解數列通項中的應用．是對數列知識的綜合考察，屬于難度較高的題目．