Question

【題目】在高中學習過程中，同學們經常這樣說：“如果物理成績好，那么學習數學就沒什么問題．”某班針對“高中生物理學習對數學學習的影響”進行研究，得到了學生的物理成績與數學成績具有線性相關關系的結論，現從該班隨機抽取5名學生在一次考試中的物理和數學成績，如表：

成績/編號	1	2	3	4	5
物理（x）	90	85	74	68	63
數學（y）	130	125	110	95	90

（參考公式： = ， = ﹣ ）
參考數據：902+852+742+682+632=29394，90×130+85×125+74×110+68×95+63×90=42595．
（1）求數學成績y關于物理成績x的線性回歸方程 = x+ （ 精確到0.1），若某位學生的物理成績為80分，預測他的數學成績；
（2）要從抽取的這五位學生中隨機選出三位參加一項知識競賽，以X表示選中的學生的數學成績高于100分的人數，求隨機變量X的分布列及數學期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：根據表中數據計算 = ×（90+85+74+68+63）=76，

= ×（130+125+110+95+90）=110，

=902+852+742+682+632=29394，

=90×130+85×125+74×110+68×95+63×90=42595，

= = = ≈1.5，

= ﹣ =110﹣1.5×76=﹣4；

∴x、y的線性回歸方程是 =1.5x﹣4，

當x=80時， =1.5×80﹣4=116，

即某位同學的物理成績為80分，預測他的數學成績是116

（2）解：抽取的五位學生中成績高于100分的有3人，

X表示選中的同學中高于100分的人數，可以取1，2，3，

P（X=1）= = ，P（X=2）= = ，

P（X=3）= = ；

故X的分布列為：

X	1	2	3
p

X的數學期望值為E（X）=1× +2× +3× =1.8

【解析】（1）根據表中數據計算 、 ，求出回歸系數 、 ，寫出回歸方程，利用回歸方程計算x=80時 的值即可；（2）抽取的五位學生中成績高于100分的有3人，X的可以取1，2，3，計算對應的概率值，寫出X的分布列，計算數學期望值．
【考點精析】掌握離散型隨機變量及其分布列是解答本題的根本，需要知道在射擊、產品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列．