Question

已知函數(shù)f（x）=alnx+（a≠0）在（0，）內(nèi)有極值．
（I）求實數(shù)a的取值范圍；
（II）若x₁∈（0，），x₂∈（2，+∞）且a∈[，2]時，求證：f（x₁）﹣f（x₂）≥ln2+．

Answer 1

（1）；（2）證明過程詳見解析.

試題分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運算，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值、不等式等基礎(chǔ)知識，考查函數(shù)思想，突出考查綜合運用數(shù)學(xué)知識和方法分析問題解決問題的能力.第一問，先對求導(dǎo)，由函數(shù)定義域可知，的分母為正數(shù)，設(shè)的分子為新函數(shù)，判斷，所以或，解得的取值范圍；第二問，對求導(dǎo)，令，設(shè)出方程的兩根，利用韋達(dá)定理得到兩根之和、兩根之積，判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，決定函數(shù)的單調(diào)性，求出最大值和最小值，代入求證的式子的左邊，化簡，得到，再求函數(shù)的最小值，通過不等式的傳遞性得到求證的表達(dá)式.
試題解析：（I）由（），得：，
∵a≠0，令，∴．
令或， 則．
(II）由（I）得：，
設(shè)（）的兩根為，
則，得．
當(dāng)和時，，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)和時，，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
則，，
則
==（利用）
令，則，
則函數(shù)單調(diào)遞增， ，
∴，
∵，則，
∴．